Cómo se representa una circunferencia con centro en el origen

La geometría analítica estudia las figuras geométricas utilizando coordenadas y ecuaciones algebraicas. Una de las figuras más importantes en geometría analítica es la circunferencia. Una circunferencia con centro en el origen es aquella en la que su centro está en el punto (0,0) del plano cartesiano. En este artículo, exploraremos cómo se representa una circunferencia con centro en el origen utilizando ecuaciones algebraicas y resolveremos ejercicios relacionados con este tema.

Cuando se trata de representar una circunferencia con centro en el origen, podemos utilizar la fórmula general de la ecuación de una circunferencia, que es $x^2 + y^2 = r^2$, donde (x, y) son las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia y r es el radio de la circunferencia. A través de esta fórmula, podemos obtener la ecuación de la circunferencia y resolver diferentes ejercicios que involucren su representación en el plano cartesiano. Ahora, profundicemos más en los detalles de la representación y ecuación de una circunferencia con centro en el origen.

Definición de circunferencia con centro en el origen

Una circunferencia con centro en el origen es una circunferencia que tiene su centro en el punto (0,0) del plano cartesiano. El radio de la circunferencia es la distancia constante desde cualquier punto de la circunferencia hasta su centro, que en este caso es (0,0).

Una forma sencilla de visualizar una circunferencia con centro en el origen es imaginando un punto en el centro del plano cartesiano, y trazando una curva a su alrededor, de tal manera que la distancia desde cualquier punto de la curva hasta el punto central sea siempre la misma. Esta distancia constante es el radio de la circunferencia.

Ecuación de la circunferencia en el origen

La ecuación de una circunferencia con centro en el origen es $x^2 + y^2 = r^2$, donde (x, y) representan las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia y r es el radio de la circunferencia.

Esta ecuación se basa en el teorema de Pitágoras, donde la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En este caso, los catetos son las coordenadas x e y del punto en la circunferencia y la hipotenusa es el radio de la circunferencia. La ecuación representa la distancia constante desde cualquier punto en la circunferencia hasta el centro, que es (0,0) en este caso.

Expresión general de ecuaciones

En la representación de la circunferencia con centro en el origen, podemos utilizar la forma general de la ecuación de una circunferencia, que es $x^2 + y^2 - r^2 = 0$. En esta ecuación, r sigue representando el radio de la circunferencia.

Esta forma general es útil cuando queremos resolver ejercicios relacionados con la circunferencia con centro en el origen, como encontrar la ecuación de una circunferencia con un radio dado. Al igual que en la ecuación principal, el centro de la circunferencia es el origen, por lo que simplemente restamos el cuadrado del radio de la ecuación.

Por ejemplo, si queremos encontrar la ecuación de una circunferencia con un radio de 5 unidades, podemos utilizar la forma general de la ecuación y reemplazar r por 5: $x^2 + y^2 - 5^2 = 0$. Esta ecuación nos dará la ecuación específica de dicha circunferencia.

Ahora que hemos establecido la importancia y las ecuaciones necesarias para representar una circunferencia con centro en el origen, exploremos algunos ejemplos resueltos para comprender mejor el tema.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1: Encuentra la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y un radio de 3 unidades.

Solución: Utilizamos la fórmula de la ecuación de una circunferencia con centro en el origen, $x^2 + y^2 = r^2$, y reemplazamos el valor del radio por 3: $x^2 + y^2 = 3^2$. Así, la ecuación de la circunferencia es $x^2 + y^2 = 9$.

Ejercicio 2: Dibuja la gráfica de la ecuación $x^2 + y^2 = 25$.

Solución: Para dibujar la gráfica de la ecuación, podemos hacer una tabla de coordenadas y trazar los puntos correspondientes. Al ser una circunferencia con radio igual a 5, podemos tomar una serie de valores de x y calcular los valores correspondientes de y utilizando la ecuación.

Tomemos los valores de x = -5, -3, -1, 1, 3, 5:

• Para x = -5, $y^2 = 25 - (-5)^2 = 25 - 25 = 0$, por lo que y = 0.
• Para x = -3, $y^2 = 25 - (-3)^2 = 25 - 9 = 16$, por lo que y = 4 o y = -4.
• Para x = -1, $y^2 = 25 - (-1)^2 = 25 - 1 = 24$, por lo que no hay valores reales de y.
• Para x = 1, $y^2 = 25 - (1)^2 = 25 - 1 = 24$, por lo que no hay valores reales de y.
• Para x = 3, $y^2 = 25 - (3)^2 = 25 - 9 = 16$, por lo que y = 4 o y = -4.
• Para x = 5, $y^2 = 25 - (5)^2 = 25 - 25 = 0$, por lo que y = 0.

Con estos puntos, podemos trazar una curva suave que pasa por estos puntos y forma una circunferencia. La gráfica de esta ecuación es una circunferencia con centro en el origen y radio de 5 unidades.

Ahora que hemos resuelto algunos ejercicios relacionados con la representación de la circunferencia con centro en el origen, podemos hacer un resumen de los puntos clave y destacar las palabras clave relacionadas con este tema.

Conclusión

Una circunferencia con centro en el origen es aquella en la que su centro está en el punto (0,0) del plano cartesiano. Para representar una circunferencia con centro en el origen, utilizamos la ecuación $x^2 + y^2 = r^2$, donde (x, y) son las coordenadas de cualquier punto en la circunferencia y r es el radio de la circunferencia. Esta ecuación se basa en el teorema de Pitágoras y representa la distancia constante desde cualquier punto en la circunferencia hasta su centro.

Al resolver ejercicios relacionados con la circunferencia con centro en el origen, podemos utilizar la forma general de la ecuación, $x^2 + y^2 - r^2 = 0$, donde r es el radio de la circunferencia. Esta forma general es útil cuando queremos encontrar la ecuación de una circunferencia con un radio dado.

A través de los ejercicios resueltos, hemos demostrado cómo encontrar la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y cómo dibujar su gráfica utilizando una tabla de coordenadas. Ahora tienes los conocimientos necesarios para resolver ejercicios relacionados con la circunferencia con centro en el origen.