Cómo hallar la ecuación de la recta con dos puntos dados

El estudio de las rectas es fundamental en las matemáticas y tiene aplicaciones en diversas áreas como la geometría, la física y la ingeniería. En muchas ocasiones, es necesario encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. Esto se puede realizar mediante un proceso sencillo pero importantísimo para la resolución de problemas y la comprensión de las propiedades de las rectas.

En este artículo, te explicaré detalladamente cómo hallar la ecuación de la recta con dos puntos dados. Comenzaremos definiendo qué es la ecuación de una recta, luego explicaré paso a paso el proceso para calcular la pendiente y encontrar la ecuación. A través de ejemplos resueltos, podrás comprender mejor el tema y aplicarlo en tus propios ejercicios. ¡Vamos a empezar!

Definición de la ecuación de la recta con dos puntos dados

La ecuación de una recta es una forma matemática de representar una línea recta en un plano cartesiano. Esta ecuación permite describir y analizar diversas características de una recta, como su pendiente (inclinación) y el punto de corte con los ejes coordenados.

Cuando se nos dan dos puntos en un plano, podemos hallar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. Esta ecuación se conoce como "ecuación punto-punto" o "ecuación de dos puntos" y se representa de la siguiente manera:

y - y1 = m(x - x1)

En esta ecuación, (x1, y1) representan las coordenadas del primer punto y (x, y) las coordenadas del segundo punto. La letra "m" representa la pendiente de la recta, que es la tangente del ángulo que la recta forma con el eje x.

Ahora que conocemos la definición de la ecuación de la recta con dos puntos dados, vamos a ver paso a paso cómo calcular la pendiente y encontrar la ecuación.

Proceso para calcular la pendiente y encontrar la ecuación

El proceso para calcular la pendiente y encontrar la ecuación de una recta con dos puntos dados consta de tres pasos:

1. Calcular la pendiente (m). Para ello, utilizaremos la fórmula de la pendiente:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Donde (x1, y1) representan las coordenadas del primer punto y (x2, y2) las coordenadas del segundo punto.

2. Sustituir la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la ecuación de la recta. Utilizaremos el punto (x1, y1) y la pendiente (m) para sustituir en la ecuación:

y - y1 = m(x - x1)

3. Simplificar y resolver la ecuación obtenida. Simplificaremos y resolveremos la ecuación obtenida hasta dejarla en su forma más simple.

Vamos a ver un ejemplo paso a paso para entender mejor este proceso.

Ejemplo 1: Cálculo con los puntos (-3,-1) y (5,2)

Dado los puntos (-3,-1) y (5,2), vamos a encontrar la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos.

Paso 1: Calcular la pendiente (m)

Utilizando la fórmula de la pendiente:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Sustituimos las coordenadas de los puntos:

m = (2 - (-1))/(5 - (-3))

Simplificamos la expresión:

m = (2 + 1)/(5 + 3)
m = 3/8

La pendiente (m) es 3/8.

Paso 2: Sustituir la pendiente y las coordenadas en la ecuación de la recta

Utilizando la ecuación de la recta:

y - y1 = m(x - x1)

Sustituimos las coordenadas del primer punto (-3,-1):

y - (-1) = (3/8)(x - (-3))
y + 1 = (3/8)(x + 3)

Esta es la ecuación de la recta.

Paso 3: Simplificar y resolver la ecuación

Simplificamos la ecuación:

y + 1 = (3/8)x + 9/8

Pasamos el término "1" al lado derecho de la ecuación:

y = (3/8)x + 9/8 - 1
y = (3/8)x + 1/8

Esta es la ecuación simplificada de la recta.

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,-1) y (5,2) es y = (3/8)x + 1/8.

Ejemplo 2: Demonstración con los puntos (-2,-1) y (-10,-5)

Dado los puntos (-2,-1) y (-10,-5), vamos a encontrar la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos.

Paso 1: Calcular la pendiente (m)

Utilizando la fórmula de la pendiente:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Sustituimos las coordenadas de los puntos:

m = (-5 - (-1))/(-10 - (-2))

Simplificamos la expresión:

m = (-5 + 1)/(-10 + 2)
m = -4/-8
m = 1/2

La pendiente (m) es 1/2.

Paso 2: Sustituir la pendiente y las coordenadas en la ecuación de la recta

Utilizando la ecuación de la recta:

y - y1 = m(x - x1)

Sustituimos las coordenadas del primer punto (-2,-1):

y - (-1) = (1/2)(x - (-2))
y + 1 = (1/2)(x + 2)

Esta es la ecuación de la recta.

Paso 3: Simplificar y resolver la ecuación

Simplificamos la ecuación:

y + 1 = (1/2)x + 1

Pasamos el término "1" al lado derecho de la ecuación:

y = (1/2)x

Esta es la ecuación simplificada de la recta.

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-1) y (-10,-5) es y = (1/2)x.

Conclusiones

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados se puede encontrar mediante un proceso sencillo. Calculamos la pendiente utilizando la fórmula y luego sustituimos la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la ecuación de la recta. Simplificamos y resolvemos la ecuación obtenida para obtener la ecuación de la recta.

En este artículo, hemos visto ejemplos con los puntos (-3,-1) y (5,2) y (-2,-1) y (-10,-5) para ilustrar este proceso. Ahora que tienes una comprensión más clara de cómo hallar la ecuación de la recta con dos puntos dados, podrás aplicar este conocimiento en tus propios ejercicios y problemas. Recuerda practicar y familiarizarte con el proceso para tener un dominio sólido de este tema.

Espero que este artículo haya sido útil y que ahora tengas una mejor comprensión de cómo hallar la ecuación de la recta con dos puntos dados. ¡Sigue practicando y nunca dejes de aprender matemáticas!

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