Qué es la Primera Ley de los Exponentes y cómo se aplica

La ley de los exponentes es una regla matemática que nos permite simplificar y resolver operaciones con exponentes de manera más eficiente. Esta ley nos ayuda a realizar cálculos más rápidos y precisos, especialmente cuando se trata de operaciones con potencias de la misma base. Al comprender y aplicar correctamente estas reglas, podremos simplificar y resolver problemas más complejos en álgebra, así como en otras áreas de las matemáticas.

En este artículo, exploraremos qué es la ley de los exponentes, cómo se aplica y veremos varios ejercicios resueltos para comprender mejor este concepto. A lo largo del artículo, utilizaremos ejemplos prácticos y ejercicios para ilustrar cada una de las leyes de los exponentes y su aplicación en diferentes situaciones.

Qué es la Primera Ley de los Exponentes

La primera ley de los exponentes establece que cuando tenemos una potencia de una potencia con la misma base, debemos multiplicar los exponentes. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

a^m^n = a^(m*n)

Donde "a" es la base, "m" y "n" son los exponentes.

Esta ley nos permite simplificar las potencias de una potencia, reduciendo la cantidad de operaciones necesarias para obtener el resultado. Veamos algunos ejemplos para comprender mejor cómo funciona esta ley:

Ejemplo 1:
Simplifica la siguiente expresión:

(2^3)^4

De acuerdo con la primera ley de los exponentes, debemos multiplicar los exponentes:

(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión a 2^12.

Ejemplo 2:
Simplifica la siguiente expresión:

(x^2)^3

Nuevamente, aplicamos la primera ley de los exponentes, multiplicando los exponentes:

(x^2)^3 = x^(2*3) = x^6

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión a x^6.

Como podemos ver en estos ejemplos, la primera ley de los exponentes nos permite simplificar expresiones algebraicas y reducir la cantidad de operaciones necesarias para obtener el resultado final.

Cómo se aplica la Primera Ley de los Exponentes

La primera ley de los exponentes se aplica cuando tenemos una potencia de una potencia con la misma base. En este caso, simplemente multiplicamos los exponentes para obtener el nuevo exponente.

Esta ley también se puede aplicar cuando tenemos una potencia con la misma base multiplicada por otra potencia con la misma base. En este caso, también multiplicamos los exponentes para obtener el nuevo exponente.

Veamos algunos ejemplos para comprender mejor cómo se aplica la primera ley de los exponentes:

Ejemplo 1:
Simplifica la siguiente expresión:

2^3 * 2^4

Aplicamos la primera ley de los exponentes y multiplicamos los exponentes:

2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión a 2^7.

Ejemplo 2:
Simplifica la siguiente expresión:

(x^2)^3 * (x^4)^2

Aplicamos la primera ley de los exponentes y multiplicamos los exponentes:

(x^2)^3 * (x^4)^2 = x^(2*3) * x^(4*2) = x^6 * x^8

Para simplificar aún más esta expresión, podemos utilizar la segunda ley de los exponentes, que establece que cuando tenemos una multiplicación de potencias con la misma base, debemos sumar los exponentes:

x^6 * x^8 = x^(6+8) = x^14

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión a x^14.

Ahora veamos algunos ejercicios resueltos más para practicar la aplicación de la primera ley de los exponentes.

Ejercicio 1:
Simplifica la siguiente expresión:

(3^2 * 3^4) / (3^3)

Aplicamos la primera ley de los exponentes para simplificar cada potencia:

(3^2 * 3^4) / (3^3) = 3^(2+4) / 3^3 = 3^6 / 3^3

Aplicamos la segunda ley de los exponentes para simplificar la división de potencias con la misma base:

3^6 / 3^3 = 3^(6-3) = 3^3

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión a 3^3.

Ejercicio 2:
Simplifica la siguiente expresión:

(a^3 * b^4) / (a^2 * b^2)

Aplicamos la primera ley de los exponentes para simplificar cada potencia:

(a^3 * b^4) / (a^2 * b^2) = a^(3-2) * b^(4-2) = a^1 * b^2

Por lo tanto, podemos simplificar la expresión a ab^2.

Como podemos ver en estos ejemplos, la primera ley de los exponentes nos permite simplificar y resolver operaciones con potencias de manera más rápida y eficiente. Es una herramienta fundamental en el álgebra y nos ayuda a trabajar con exponentes de manera más efectiva.

Conclusión

La primera ley de los exponentes es una regla matemática que nos permite simplificar y resolver operaciones con potencias de manera más efectiva. Esta ley establece que cuando tenemos una potencia de una potencia con la misma base, debemos multiplicar los exponentes. También se aplica cuando multiplicamos potencias con la misma base. Al comprender y aplicar correctamente esta ley, podemos simplificar expresiones algebraicas y reducir la cantidad de operaciones necesarias para obtener el resultado final.

Espero que este artículo te haya ayudado a comprender mejor qué es la primera ley de los exponentes y cómo se aplica. Recuerda practicar con ejercicios y ejemplos adicionales para mejorar tus habilidades en el manejo de exponentes.