Derivadas Implícitas: Ejercicios Paso a Paso y Ejemplos

En el cálculo diferencial, existe la diferenciación explícita, donde se calcula la derivada de una función cuando la variable dependiente está explícitamente despejada en términos de la variable independiente. Sin embargo, en algunos casos, las ecuaciones no se pueden despejar de manera explícita y la variable dependiente está implícitamente definida en términos de la variable independiente. En estos casos, se emplea la diferenciación implícita para calcular la derivada de estas funciones.

La derivada implícita es una herramienta fundamental en el campo del análisis matemático y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la física, la economía y la ingeniería. En este artículo, exploraremos en detalle qué son las derivadas implícitas, cómo se calculan y cómo se aplican en problemas prácticos.

Ejemplos de funciones explícitas e implícitas

Antes de adentrarnos en los detalles de las derivadas implícitas, es importante comprender la diferencia entre las funciones explícitas e implícitas.

Una función explícita se define cuando la variable dependiente está expresada de forma explícita en términos de la variable independiente. Por ejemplo, la función $y = 2x^2 + 3x + 1$ es una función explícita, ya que la variable dependiente $y$ se puede despejar fácilmente en términos de la variable independiente $x$.

En contraste, una función implícita está definida cuando la variable dependiente no está despejada en términos de la variable independiente. Por ejemplo, la ecuación $x^2 + y^2 = 25$ representa una circunferencia de radio 5 con centro en el origen. En este caso, la variable dependiente $y$ no se puede despejar de manera explícita, lo que hace que la ecuación sea implícita.

La diferenciación explícita se aplica directamente a funciones explícitas, mientras que la diferenciación implícita se utiliza cuando la variable dependiente está implícitamente definida. A continuación, exploraremos cómo calcular derivadas implícitas y cómo se aplican en diferentes situaciones.

Reglas y métodos para la diferenciación implícita

Para calcular la derivada implícita de una función, se deben seguir una serie de reglas y métodos que nos permitirán simplificar la ecuación implícita y despejar la derivada deseada. A continuación, se describen las principales reglas y métodos utilizados en la diferenciación implícita.

Derivación de una función implícita

Cuando se desea calcular la derivada de una función implícita, es necesario diferenciar ambos lados de la ecuación implícita con respecto a la variable independiente. Esto se denota mediante la notación $frac{d}{dx}$, donde $d$ representa la diferenciación y $dx$ representa la variable independiente.

Por ejemplo, consideremos la ecuación implícita $x^2 + y^2 = 25$. Para obtener la derivada implícita $frac{dy}{dx}$, se diferencian ambos lados de la ecuación con respecto a $x$:

$frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = frac{d}{dx}(25)$

Derivando el término $x^2$ obtenemos $2x$, y derivando el término $y^2$ se obtiene $2yy'$. La derivada de la constante 25 es cero. Por tanto, la ecuación se simplifica a:

$2x + 2yy' = 0$

Despejando $frac{dy}{dx}$, se obtiene:

$frac{dy}{dx} = -frac{x}{y}$

De esta forma, hemos calculado la derivada implícita $frac{dy}{dx}$ de la función implícita $x^2 + y^2 = 25$.

Derivadas implícitas de funciones compuestas

Cuando se tiene una función implícita que incluye una composición de funciones, se aplica la regla de la cadena para calcular la derivada implícita. La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta es el producto de la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.

Para ilustrar esto, consideremos la ecuación implícita $y^2 + sin(xy) = x^3$. Para calcular la derivada implícita $frac{dy}{dx}$, debemos diferenciar ambos lados de la ecuación.

$frac{d}{dx}(y^2 + sin(xy)) = frac{d}{dx}(x^3)$

Derivando el término $y^2$ se obtiene $2yy'$. Derivando el término $sin(xy)$ se obtiene $cos(xy)(y + xy')$. En el lado derecho de la ecuación, la derivada del término $x^3$ es $3x^2$. Por tanto, la ecuación se simplifica a:

$2yy' + cos(xy)(y + xy') = 3x^2$

Despejando $frac{dy}{dx}$, obtenemos:

$2yy' + cos(xy)(y + xy') = 3x^2$

Esta regla de la cadena también se aplica a funciones compuestas más complejas, donde puede ser necesario utilizar la regla del producto y la regla de la suma para despejar la derivada implícita.

Derivadas implícitas de funciones trigonométricas e inversas

Cuando se tienen funciones trigonométricas e inversas en una ecuación implícita, es posible que se requiera el uso de las derivadas específicas de estas funciones. A continuación, se presentan las derivadas implícitas de algunas funciones trigonométricas e inversas comunes:

- Derivada implícita de $sin(x)$:
$frac{d}{dx}(sin(x)) = cos(x)$

- Derivada implícita de $cos(x)$:
$frac{d}{dx}(cos(x)) = -sin(x)$

- Derivada implícita de $tan(x)$:
$frac{d}{dx}(tan(x)) = sec^2(x)$

- Derivada implícita de $arcsin(x)$:
$frac{d}{dx}(arcsin(x)) = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$

- Derivada implícita de $arccos(x)$:
$frac{d}{dx}(arccos(x)) = -frac{1}{sqrt{1-x^2}}$

- Derivada implícita de $arctan(x)$:
$frac{d}{dx}(arctan(x)) = frac{1}{1+x^2}$

Estas derivadas implícitas son útiles al calcular la derivada de una función implícita que involucra funciones trigonométricas o inversas.

Despeje de la derivada implícita

Una vez obtenida la ecuación simplificada que involucra la derivada implícita, es posible despejar $frac{dy}{dx}$ para obtenerla en términos de las variables $x$ e $y$. Sin embargo, en algunos casos, es posible que no sea posible despejar $frac{dy}{dx}$ de manera explícita.

Por ejemplo, consideremos la ecuación implícita $x^2 + y^2 - 3x + 4y + 6 = 0$. Al diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ y simplificar, obtenemos:

$2x + 2yy' - 3 + 4y' = 0$

Despejar $frac{dy}{dx}$ en términos de $x$ e $y$ en esta ecuación no es posible. Sin embargo, podemos expresar la ecuación de forma más conveniente para calcular $frac{dy}{dx}$:

$2yy' + 4y' = -2x + 3$

A partir de esta expresión, podemos factorizar el lado derecho de la ecuación:

$y'(2y + 4) = -2x + 3$

Finalmente, despejamos $frac{dy}{dx}$:

$frac{dy}{dx} = frac{-2x + 3}{2y + 4}$

En casos donde no se puede despejar $frac{dy}{dx}$ de manera explícita, podemos dejar la derivada implícita en esta forma factorizada.

Resolución paso a paso de ejercicios de derivadas implícitas

A continuación, se presentan ejercicios paso a paso de derivadas implícitas para ilustrar cómo se aplican las reglas y métodos descritos anteriormente.

Ejercicio 1:

Calcular la derivada implícita de la ecuación $x^2 + y^2 = 9$.

Solución:
Diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$:
$frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = frac{d}{dx}(9)$

Derivando el término $x^2$ se obtiene $2x$, y derivando el término $y^2$ se obtiene $2yy'$. La derivada de la constante 9 es cero. Entonces, la ecuación se simplifica a:
$2x + 2yy' = 0$

Despejamos $frac{dy}{dx}$:
$2yy' = -2x$

$frac{dy}{dx} = -frac{x}{y}$

Por lo tanto, la derivada implícita de la ecuación $x^2 + y^2 = 9$ es $frac{dy}{dx} = -frac{x}{y}$.

Ejercicio 2:

Calcular la derivada implícita de la ecuación $y = sin(x^2)$.

Solución:
Diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$:
$frac{d}{dx}(y) = frac{d}{dx}(sin(x^2))$

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es simplemente $frac{dy}{dx}$. Para calcular la derivada del término $sin(x^2)$, usamos la regla de la cadena, donde la derivada de $sin(u)$ es $cos(u)$ y la derivada de $x^2$ es $2x$.
$frac{dy}{dx} = cos(x^2) cdot (2x)$

Por lo tanto, la derivada implícita de la ecuación $y = sin(x^2)$ es $frac{dy}{dx} = 2x cdot cos(x^2)$.

Ejercicio 3:

Calcular la derivada implícita de la ecuación $x^3 + y^3 = 8$.

Solución:
Diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$:
$frac{d}{dx}(x^3 + y^3) = frac{d}{dx}(8)$

Derivando el término $x^3$ se obtiene $3x^2$, y derivando el término $y^3$ se obtiene $3y^2y'$. La derivada de la constante 8 es cero. Por tanto, la ecuación se simplifica a:
$3x^2 + 3y^2y' = 0$

Despejamos $frac{dy}{dx}$:
$3y^2y' = -3x^2$

$y^2y' = -x^2$

$frac{dy}{dx} = frac{-x^2}{y^2}$

Por lo tanto, la derivada implícita de la ecuación $x^3 + y^3 = 8$ es $frac{dy}{dx} = frac{-x^2}{y^2}$.

Importancia y aplicaciones de las derivadas implícitas

Las derivadas implícitas son una herramienta poderosa en el cálculo diferencial y tienen numerosas aplicaciones en diversas áreas. A continuación, se presentan algunas de las aplicaciones más comunes de las derivadas implícitas.

Cálculo de tasas de cambio en problemas de física

En la física, es común utilizar las derivadas implícitas para calcular tasas de cambio en problemas relacionados con el movimiento de objetos. Por ejemplo, al calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento, las derivadas implícitas nos permiten relacionar las variables de posición y tiempo.

Análisis de funciones definidas implícitamente

A menudo, las ecuaciones que describen fenómenos complejos en física, economía o ciencias naturales no se pueden despejar de manera explícita y se presentan de forma implícita. En tales casos, las derivadas implícitas son fundamentales para analizar estas funciones y comprender cómo cambian en relación con sus variables independientes.

Optimización de funciones

Las derivadas implícitas también son útiles en la optimización de funciones, donde se busca encontrar valores máximos o mínimos de una función en un intervalo determinado. Al utilizar las derivadas implícitas, es posible determinar puntos críticos y clasificarlos como máximos o mínimos mediante el estudio del signo de la derivada.

Geometría diferencial

En geometría diferencial, las derivadas implícitas son esenciales para estudiar las propiedades de las curvas y superficies definidas implícitamente. Mediante el análisis de las derivadas implícitas, es posible determinar la tangente, la normal y la curvatura de una curva en un punto dado, así como estudiar la geometría local de una superficie utilizando el vector normal y la curvatura.

Las derivadas implícitas son una herramienta poderosa y versátil en el cálculo diferencial. Permiten calcular la derivada de funciones implícitas que no pueden despejarse de manera explícita, lo que facilita el análisis y la comprensión de fenómenos complejos. Además, tienen aplicaciones en diversas áreas, desde la física hasta la geometría y la optimización de funciones. El dominio de las derivadas implícitas es esencial para aquellos que deseen comprender y aplicar el cálculo diferencial en contextos más avanzados.